TUGAS EMPAT (4)
MATEMATIKA DAN ILMU ALAMIAH DASAR
A.
HIMPUNAN BILANGAN
1.
Pengertian Himpunan dan Anggota Himpunan
Himpunan merupakan kumpulan benda-benda
atau objek-objek yang telah terdefinisi secara jelas atau sekumpulan objek yang
mempunyai satu kesatuan serta mempunyai keterikatan diantara
anggota-anggotanya.
Contoh himpunan:
- Kumpulan kata dalam kamus
- Kumpulan buku dalam perpustakaan
Sifat keterikatan yang ada dalam kumpulan
tersebut biasa disebut sifat-sifat dari himpunan:
1. Setiap objek dapat dibedakan dari yang
satu dengan yang lainnya yang ada dalam unsur/elemen dari himpunan itu sendiri.
2. Dapat dibedakan mana anggota himpunan
dan mana yang bukan.
2.
Macam-macam Himpunan
1. Himpunan Kosong
Himpunan yang tidak memiliki elemen atau unsur.
Simbol himpunan kosong
i. { }
ii. Ф atau Ǿ
Contoh : - himpunan nama hari yang diawali
huruf z
-himpunan bilangan bulat 4<x<5
Jika ditulis dengan cara pencirian menjadi
: A= {x/x}
2. Himpunan Bagian
Jika A adalah himpunan, B juga himpunan
maka himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika
untuk setiapn x elemen berada dalam himpunan A dan untuk setiap x elemen pula
berada dalam himpunan B.
Simbol : “C”
3. Himpunan Bagian Sejati
Jika A adalah suatu himpunan dan B juga
merupakan suatu himpunan maka himpunan A dikatakan himpunan bagian yang sejati
dari himpunan B , jika dan hanya jika untuk setiap x elemen berada dalam
himpunan B , paling sedikit sekurang kurangnyaada 1 elemen B Yang tidak berada
dalam himpunan A.
4. Himpunan berhingga
Suatu himpunan yang elemen unsur/
anggotanya dapat dihitung banyaknya atau berhingga banyaknya. Biasanya untuk
menyatakan atau menulis himpunan ini tidak perlu ditulis secara keseluruhan
dari elemen-elemennya ,cukup ditulis anggota awalnya serta anggota akhirnya.
5. Himpunan Tak Berhingga
Suatu himpunan yang elemen / unsur maupun
anggotanya tidak dapat dihitung banyaknya(tak berhingga). Untuk menyatakan /
menulis himpunan ini tidak perlu ditulis semuanya ukup ditulis elemen awal dan
titulis 3 titik tanpa ada elemen berikutnya.
6. Himpunan Semesta(S)
Suatu himpunan yang elemen/unsur
anggotanya merupakan keseluruhan dari objek objek pembicaraan didalam himpunan
itu sendiri.
7. Himpunan Complument ( Ac)
Jika S adalah himpunan semesta dan A
merupakan suatu himpunan bagian dari himpunan S, Maka Ac adalah suatu himpunan
yang elemen atau unsur atau anggotanya adalah yang tidak berada pada himpunan A
itu sendiri.
8. Himpunan Bersandi
Jika A dalah himpunan dan B juga himpunan
maka Himpunan A dikatakan himpunan bersandi dari himpunan B jika dan hanya jika
paling sedikitnya ada satu atau lebih unsur atau elemen dari kedua himpunan
tersebut mempunyai anggota yang sama.
9. Himpunan Lepas
Jika A adalah suatu Himpunan dan B juga
himpunan , maka A dikatakan himpunan lepas dari himpunan b jika dan hanya jiak
kedua himpunan tersebut tidak mengandung unsur atau elemen yang saling
bersekutu.
10. Himpunan Sama
Jika A suatu himpunan dan b juga merupakan
suatu himpunan maka himpunan A dikatakan Himpunan sama dengan himpunan B ,jika
dan hanya jika untuk setiap x elemen berada dalam himpunan A dan x elemen
berada pula pada himpunan B , begitu pula sebaliknya, maka dikatakan himpunan
sama.
11. Himpunan Sederajat
Jika A merupakan suatu himpunan dan b juga
merupaakan suatu himpunan, maka himpunan a dikatakan himpunan sederajat dengan
himpunan B jika dan hanya jika kedua himpunan tersebut mempunyai jumlah
bilangan kardinal.
3.
Operasi Antara Himpunan
1. Gabungan (union)
Adalah himpunan yang anggota-anggotanya
merupakan anggota-anggota himpunan asal.
Notasi : A È B =
{ x |x Î A atau x Î B }
Contoh :
(i) Jika A = { 1,
2, 3, 8 } dan B = { 7, 5, 2 }, maka A È B =
{ 1, 2, 3, 5, 7, 8 }
(ii) A È Æ = A
2. Irisan (Interseksi)
Adalah himpunan yang
anggota-anggotanya merupakan anggota-anggota kedua himpunan sekaligus.
Notasi : A Ç B =
{ x |x Î A dan x Î B }
Contoh :
(i) Jika A = {2, 4, 6, 8,
10} dan B = {2, 8, 14, 16}, maka A Ç B =
{2, 8}
(ii) Jika A = { 1, 3, 5 }
dan B = { 2, 4, 6, 8 }, maka A Ç B =
Æ . Artinya: A // B
3. Selisih (Minus) A – B
Adalah
himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota A tetapi tidak menjadi
anggota B.
Notasi : A – B =
{ x |x Î A dan x Ï B }
= A Ç
Contoh : (i)
Jika A = { 1, 2, 3, …, 10 } dan B = { 2, 4,
6, 8, 10 }, maka A – B = { 1, 3, 5, 7, 9 }
dan B – A = Æ
(ii) {1, 2, 4} – {1, 5, 3} = {2, 4},
tetapi {1, 5, 3} – {1, 2, 4} = {3, 5}
4. Komplemen (complement)
Komplemen dari himpunan A terhadap suatu
himpunan semesta U adalah suatu himpunan yang elemennya
merupakan elemen U yang bukan elemen A.
Notasi : = { x |x Î
U dan x Ï A }
Contoh :
Misalkan U = { 1, 2, 3, …, 9 },
(i) jika A = {1, 2, 6,
8}, maka = {3, 4, 5, 7, 9}
(ii) jika A =
{ x | x/2 Î P, x <
9 }, maka = { 1, 3, 5, 7, 9 }
4.
Himpunan Bilangan
1. Himpunan
Bilangan Asli
Bilangan asli merupakan bilangan yang
sering kita gunakan, seperti untuk menghitung banyaknya pengunjung dalam suatu
pertunjukan seni atau banyaknya tamu yang menginap di hotel tertentu. Bilangan
asli sering pula disebut sebagai bilangan natural karena secara alamiah kita
mulai menghitung dari angka 1, 2, 3, dan seterusnya. Bilangan-bilangan tersebut
membentuk suatu himpunan bilangan yang disebut sebagai himpunan bilangan asli.
Dengan demikian, himpunan bilangan asli didefinisikan sebagai himpunan bilangan
yang diawali dengan angka 1 dan bertambah satu-satu.
Himpunan bilangan ini dilambangkan dengan
huruf A dan anggota himpunan dari bilangan asli dinyatakan sebagai berikut.
A = {1, 2, 3, 4, …}.
2. Himpunan Bilangan Cacah
Dalam sebuah survei mengenai hobi siswa di
kelas tertentu, diketahui bahwa banyak siswa yang hobi membaca 15 orang, hobi
jalan-jalan sebanyak 16 orang, hobi olahraga sebanyak 9 orang dan tidak ada
siswa yang memilih hobi menari. Untuk menyatakan banyaknya anggota yang tidak
memiliki hobi menari tersebut, digunakan bilangan 0. Gabungan antara himpunan
bilangan asli dan himpunan bilangan 0 ini disebut sebagai himpunan bilangan
cacah.
Himpunan bilangan ini dilambangkan dengan
huruf C dan anggota himpunan dari bilangan cacah dinyatakan sebagai berikut:
C = {0, 1, 2, 3, 4,…}.
3. Himpunan Bilangan Bulat
Himpunan bilangan bulat adalah gabungan
antara himpunan bilangan cacah dan himpunan bilangan bulat negatif. Bilangan
ini dilambangkan dengan huruf B dan anggota himpunan dari bilangan bulat
dinyatakan sebagai berikut:
B = {…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …}.
4. Himpunan Bilangan Rasional
Himpunan bilangan rasional adalah himpunan
bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk , dengan p, q ∈ B dan q ≠ 0. Bilangan p disebut pembilang dan q
disebut penyebut. Himpunan bilangan rasional dilambangkan dengan huruf Q.
Himpunan dari bilangan rasional dinyatakan sebagai berikut:
5. Himpunan Bilangan Irasional
Himpunan bilangan irasional adalah
bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk , dengan p, q anggota B dan q
≠ 0. Contoh bilangan irasional adalah bilangan desimal yang tidak berulang
(tidak berpola), misalnya: 2 , π, e, log 2. Himpunan bilangan ini dilambangkan
dengan huruf I.
5.
Perbedaan Bilangan Bulat dengan Bilangan Riil
Bilangan
bulat terdiri dari bilangan cacah (0, 1, 2, 3, …) dan negatifnya (-1, -2, -3,
…; -0 adalah sama dengan 0 sehingga tidak lagi dimasukkan secara terpisah).
Bilangan bulat dapat dituliskan tanpa komponen desimal atau pecahan.
Dalam
matematika, bilangan riil atau bilangan real menyatakan bilangan yang bisa
dituliskan dalam bentuk desimal, seperti 2,4871773339… atau 3.25678. Bilangan
real meliputi bilangan rasional, seperti 42 dan −23/129, dan bilangan
irasional, seperti π.
B.
RELASI
1.
Relasi adalah
suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan satu ke himpunan
lain. Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang
memasangkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B.
Contoh :
Empat orang anak yaitu Ria, Rian, Reni,
dan Revi memilih jenis musik yang mereka sukai. Ternyata:
Ria dan Rian memilih musik pop.
Rian dan Reni memilih musik rock.
Rian, Reni, dan Revi memilih musik jazz.
Jika A = {Ria, Rian,
Reni, Revi} dan B = {pop, rock, jazz}, maka dapat dibentuk relasi (hubungan)
antara anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B. Relasi
yang tepat dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi “menyukai”. Ria
dipasangkan dengan pop, berarti Ria menyukai musik pop, Rian dipasangkan dengan
pop, rock, dan jazz, berarti Rian menyukai tiga jenis musik, yaitu musik pop,
rock, dan jazz, Reni dipasangkan dengan rock dan jazz, berarti Reni menyukai
dua jenis musik, yaitu musik rock dan jazz, sedangkan Revi dipasangkan dengan
jazz, berarti Revi menyukai musik pjazz. Relasi terebut dapat ditunjukkan
dengan jelas pada gambar dibawah ini.
2.
Relasi dengan Diagram Panah
Empat orang anak yaitu Tias, Jamal, Farid,
dan Dika memilih permainan yang mereka gemari. Ternyata:
Tias, Jamal, dan Farid memilih permainan
voli.
Jamal dan Farid memilih permainan basket.
Farid dan Dika memilih permainan tenis.
Jika himpunan A = {Tias, Jamal, Farid,
Dika} dan himpunan B = {voli, basket, tenis}. Terdapat relasi gemar bermain
dari himpunan A ke himpunan B.
3.
Relasi Invers dan Komposisi Relasi
Relasi Komposisi
Misalkan f adalah suatu
fungsi dari A ke B dan g adalah fungsi dari B ke C ,
maka suatu fungsi h dari A ke C disebut fungsi
komposisi. Fungsi komposisi tersebut dinyatakan dengan (dibaca: g bundaran f)
Fungsi Komposisi: (f o g)(x)
= f(g(x))
Fungsi Komposisi: (g o f)(x)
= g(f(x))
Sifat-sifat Komposisi Fungsi
1. Pada umumnya tidak komutatif.
2. Operasi komposisi pada fungsi bersifat
asosiatif.
3. Terdapat fungsi identitas 
Relasi Invers
Apabila f adalah fungsi
dari himpunan A ke himpunan B, maka invers fungsi fadalah suatu
relasi dari himpunan B ke himpunan A. Jadi, invers suatu fungsi tidak
selalu merupakan fungsi. Jika invers suatu fungsi merupakan fungsi,
maka invers tersebut dinamakan fungsi invers dari fungsi semula.
Jika fungsi 
dinyatakan dengan himpunan pasangan
berurutan 
maka invers fungsi f adalah 
dan dinyatakan sebagai 
Fungsi f mempunyai fungsi
invers 
jika dan hanya jika f merupakan
fungsi (korespondensi satu-satu)
Langkah-langkah untuk menentukan rumus
fungsi invers apabila fungsi f(x) telah diketahui:
1. Mengubah persamaan y = f(x) dalam
bentuk x sebagai fungsi y
2. Bentuk x sebagai fungsi y tersebut
dinamakan 
3. Mengganti y pada 
, dan
4. dengan x, sehingga
diperoleh 
4.
Perbedaan Sifat Relasi
·
Sifat Reflekatif :
Misalkan R sebuah relasi yang
didefinisikan pada himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat refleksif jika untuk
p € P berlaku (p,p) € R.
Contoh : Diberikan Himpunan P = {1,2,3}. Didefinisikan relasi R pada himpunan P
dengan hasil adalah himpunan S = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3), (3,2)}.
Relasi R tersebut bersifat reflektif sebab setiap angggota himpunan P
berpasangan atau berelasi dengan dirinya sendiri.
· Sifat Simetris :
Misalkan R sebuah relasi pada sebuah
himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat simetris, apabila untuk setiap (x,y) €
R berlaku (y,x) € R.
Contoh : Diberikan himpunan P ={1,2,3}. Didefinisikan relasi R pada himpunan P
dengan R ={(1,1), (1,2), (1,3), (2,2), (2,1), (3,1), (3,3)}. Relasi R tersebut
bersifat simetris untuk setiap (x,y) € R, berlaku (y,x) € R.
· Sifat Transitif :
Misalkan R sebuah relasi pada sebuah
himpunan P. Relasi R bersifat Transitif, apabila untuk setiap (x,y) € R dan
(y,z) € R maka berlaku (x,z) € R.
Contoh : Diberikan himpunan P ={1,2,3}. Didefinisikan relasi pada
himpunan P dengan hasil relasi adalah himpunan R= {(1,1), (1,2), (1,3),
(2,2), (2,1), (3,1), (3,3)}. Relasi R tersebut bersifat Transitif sebab (x,y) €
R din (y,z) € R berlaku (x,z) € R.
· Sifat Antisimetris
Misalkan R sebuah relasi pada sebuah
himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat antisimetris, apabila untuk setiap
(x,y) € R dan (y,x) € R berlaku x=y.
Contoh : Diberikan himpunan C = {2,4,5}. Didefinisikan relasi R pada himpunan C
dengan R = {(a,b) € a kelipatan b, ab € C} sehingga diperoleh R = {(2,2),
(4,4), (5,5), (4,2)}. Relasi R tersebut bersifat antisimetris.
C.
FUNGSI
1.
Definisi Fungsi
Fungsi f adalah suatu relasi yang menghubungkan
setiap anggota x dalam suatu himpunan yang disebut daerah asal (Domain) dengan
suatu nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan kedua yang disebut daerah kawan
(Kodomain). Himpunan nilai yang diperoleh dari relasi tersebut disebut daerah
hasil (Range). Untuk memberi nama suatu fungsi dipakai sebuah huruf tunggal seperti
f, g, dan huruf lainnya. Maka f(x), yang di baca “ f dari x “ menunjukkan
nilai yang diberikan oleh f kepada x. Misalkan : f(x) = x+ 2, maka f(3) =
3 + 2.
Sifat Fungsi :
1) Fungsi f :A? B disebut fungsi INTO.
Karena ada kodomain yang tidak berpasangan dengan domain.
2) Fungsi f :A? B disebut fungsi INJEKTIF.
Karena setiap kodomain berpasangan tepat satu dengan domain.
3) Fungsi f:A? B disebut fungsi SUBJEKTIF.
Karena setiap kodomain berpasangan dengan domain.
4) Fungsi f:A? B disebut fungsi BIJEKTIF.
Karena sebuah fungsi bersifat injektif sekaligus subjektif (korespondensi satu-satu).
Maka jumlah anggota himpunan harus sama n(A) = n(B) Pemetaan khusus yang
terjadi jika setiap anggota A dipasangkan tepat satu ke anggota B dan anggota B
dipasangkan tepat satu dengan anggota A disebut KORESPONDENSI SATU SATU.
2.
Fungsi Satu Satu
Korespondensi satu-satu akan mungkin terjadi
jika banyaknya anggota A = banyaknya anggota B.
Jenis-Jenis Fungsi
Jenis-jenis fungsi yang perlu kita ketahui
diantaranya adalah :
A). Fungsi Konstan
Suatu fungsi f : A?B ditentukan dengan
rumus f(x) disebut fungsi konstan. Apabila untuk setiap anggota domain fungsi
selalu berlaku f(x) = C, di mana C bilangan konstan.
B). Fungsi Identitas
Fungsi Identitas adalah suatu fungsi f
yang dinyatakan dalam rumus f(x) = x. Fungsi identitas sering dinyatakan dengan
lambang I sehingga I(x) = x.
C). Fungsi Modulus Atau Fungsi Harga
Mutlak
Fungsi modulus adalah fungsi f yang memuat
bentuk nilai mutlak.
D). Fungsi Linear
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi linear
apabila fungsi itu ditentukan oleh f(x) = ax + b, di mana a ? 0, a dan b
bilangan konstan dan grafiknya berupa garis lurus.
E). Fungsi Kuadrat
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi kuadrat
apabila fungsi itu ditentukan oleh f(x) = ax2 + bx + c, di mana a ? 0 dan a, b,
dan c bilangan konstan dan grafiknya berupa parabola.
F). Fungsi Tangga (Bertingkat)
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi tangga
apabila grafik fungsi f(x) berbentuk interval-interval yang sejajar.
G). Fungsi Modulus
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi modulus
(mutlak) apabila fungsi ini memetakan setiap bilangan real pada domain fungsi
ke unsur harga mutlaknya.
H). Fungsi Ganjil Dan Fungsi Genap
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi ganjil
apabila berlaku f(–x) = –f(x) dan disebut fungsi genap apabila berlaku f(–x) =
f(x). Jika f(–x) ? –f(x) maka fungsi ini tidak genap dan tidak ganjil.
3.
Perbedaan Domain, Kodomain, dan Range Suatu Fungsi
Pada relasi dari himpunan A ke B, himpunan
A disebut Domain (daerah asal) himpunan B disebut Kodomain (daerah kawan) dan
semua anggota B yang mendapat pasangan dari A disebut Range (derah hasil).
Contoh :
Tentukanlah domain, kodomain dan range
dari relasi di bawah ini:
Jawab:
A. Domain = { 3, 5 }
Kodomain = { 1, 2, 6, 8, 9}
Range = { 1, 2, 8}
B. Domain = { 3, 5, 7, 8}
Kodomain = { 1, 2, 3, 4, 7, 8}
Range = { {1, 2, 3, 4, 7, 8}
Sumber :
